雨量--面积的函数关系--《气象随机场的分布函数及其转移矩阵》-（之6）

张学文

雨量--面积的函数关系--《气象随机场的分布函数及其转移矩阵》-（之6）

张学文, 2014/7/1

气象部门经常预报或者提供某地区每天、每小时的降水,在气候学中还提供多年平均降水的地理分布。但是面对这些彼此不同的降水量分布图，我们难以归纳出对应的通用的数学公式。

但是气象实践提示我们看到的降水分布尽管几乎没有两张图是相同的，但是大雨占的面积小，小雨占的面积大却是司空见惯的定性经验。现在问我们是否可以把这些感性认识提炼为数学公式以表达雨量与其笼罩面积的关系？

我们说降水量地理分布就是一个气象场，而不同雨量与其所笼罩面积的关系就是一个脱离了地理位置，仅考虑面积大小与雨量多少的函数关系了。它就是水文界谈的降水时面深问题的内容，这也是我们谈的气象场的分布函数的重要个例。

上世纪80年代初，我们在最大熵原理的提示下，把降水的地理分布提炼为雨量与笼罩面积的关系。记得我们最初用美国人总结的大约100场的暴雨面积-雨量数据提炼为它们是负指数关系，过来又用水文-气象部门分析的中国大约100场暴雨进一步证实雨量与其笼罩面积是负指数关系。比较典型的文献如“从熵原理得出的暴雨面积和雨量的关系”（高原气象，1991年，10卷，3期，225-232页     张学文、杨秀松）。其典型的分布函数如下图：

                               
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如果一场暴雨，在其总降水区域的平均雨量是a，那么实际降水量为r±0.5的降水所笼罩的相对面积s 符合下面的负指数关系：

s=(1/a)exp(-r/a)

显然如果预报员预报了某地有一场1平均雨量是20毫米的计算，利用这个公式计算出不同雨量笼罩的相对面积是多少。从这个基本公式还可以演化出有关的降水的其他特征公式。

也是在上世纪90年代，马力博士还探讨了多年平均的降水量图上的雨量-面积关系，她指出在中国区域、新疆区域，其年降水量的不同值所笼罩的面积也是负指数关系。丁裕国等人则探讨了中国区域的日降水量与笼罩面积的关系。

暴雨的雨量与笼罩面积为什么符合负指数关系？如果把一次降水比作把一桶水随机地撒向布满了雨量筒的地区。那么根据统计力学的思路我们可以证明水在各个雨量筒里的数量都相等的机会是特别小的，而概率最大的情况是其分布最复杂。如果说得神秘一点就是熵最大。而根据最复杂、熵最大是可以求得不同雨量笼罩的相对面积公式的。所以在降水总量确定的情况下，雨量在面积上的分布服从负指数关系体现了最大熵原理。

围绕着复杂的降水现象，我们还可以引入很多其他含义的分布函数来表达它的统计特征。

在《熵气象学》一书以及降水统计力学研究的进展（上）：  新疆气象，1999年，22卷，5期，1-4页；降水统计力学研究的进展（下）    新疆气象，1999年 22卷，6期，1-3，18页　中有一些综合介绍。

下面的表是在《组成论》的19章（2003年）概括的有关降水、云的分布函数。确实，把分布函数概念用于降水、云物理现象中，我们可以获得很多新知识，这里就不细说了。

与云和降水有关的分布函数[25-35]

取自组成论一书的表19-2

	广义集合	个体名称	标志（变量）名称	分布函数要描述的问题	分布函数的公式类型
1	雨滴谱	每个雨滴	雨滴半径	不同半径的雨滴各有多少	负指数型
2	雪花谱	每个雪花	雪花半径（当量）	不同半径的雪花各有多少	负指数型
3	冰雹谱	每个冰雹	冰雹半径	不同半径的冰雹各有多少	负指数型
4	霰谱	每个霰粒	半径当量	不同半径的霰各有多少	负指数型
5	云滴谱	每个云滴	云滴半径	不同半径的云滴各有多少	瑞利分布型等
6	在某地域的一场雨（雪）	单位面积	降水量	不同雨量的降雨各有多少（面积）	负指数分布
7	在某地域的一场雨（雪）	单位面积	降水维持时间	不同维持时间的降雨各有多少（面积）	负指数分布
8	某个点的一场雨	单位时间	降水强度	不同降水强度的雨各维持了多少时间	负指数分布
9	某个地点的很长时段	一次降水	该降水过程的降水量	不同降水量的降水过程的出现概率是多少	负指数分布
10	某个地点的很长时段	一次降水	该降水过程的维持时间	不同的降水维持时间的降水过程的出现概率是多少	负指数分布
11	某个地点的很长时段	一次降水	雨量和维持时间（两维）	一场降水过程中不同降水量和维持时间各有大的概率	没有找到解析公式，但边缘分布为负指数
12	某个点的很长时段	一段无雨时间	该时段的历时长度	不同的干旱期（无雨期）各有多少	负指数分布
13	某个点的很长时段	月	月降水量	不同的月降水量各有多少次（概率）	gamma 分布
14	某个点的很长时段	年	年降水量	不同的年降水量各有多少（概率）	年降水次数超过30次从Gamma转 为正态分布
15	在某地域的一场雨	单位面积	该降水过程的雨量和历时	不同雨量和不同降水历时占的面积各有多少（二元）	没有找到分布函数的解析式
16	某个点的很长时段（很多年）	年	某地每年的一日最大降水量	年的日最大降水量为不同值的出现概率	极值分布函数

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