从贝叶斯(bayes)到局地集合变换卡尔曼滤波(LETKF)～C3－初见非线性模式

老实人明明 · 发表于 2023-9-2 23:42:24

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Ｃ３：初见非线性模式

－－前言

　　　上一节中，首先对线性和非线性模式，进行了理论上的学习：https://mathresearch.utsa.edu/wi ... Linearity#Linearity

Additivity: f(x + y) = f(x) + f(y).－可加性
Homogeneity of degree 1: f(αx) = α f(x) for all α．

　　　此为线性（函数）所满足的性质，而若是不满足上述性质（任一），则为非线性（函数）

　　　其次，上一节通过简单的匀速以及非匀速运动，对线性和非线性情况下的误差的传递进行了细致说明，论证了为什么在线性情况下误差能够通过模式本身进行传播，以及为什么非线性情况下误差不能通过模式本身进行，即非线性模式的误差的不可传递性，其实究其本质，便是后者－非线性模式不满足可加性原理

　　　本节中，首先将介绍lorenz63模式以及由其提出的蝴蝶效应(butterfly effect)，以及正态分布，最后会对集合预报进行讨论．

－－正文

　　　lorenz63实验说明：code-http://bbs.06climate.com/forum.php?mod=attachment&aid=MTEwMDc5fDdhODA0MDUwZDE4NzE0ZGI1NjU4YTIxNDE2NGIyZWQwfDE3MTQ2NzM4NTY%3D&request=yes&_f=.ipynb

　　　（https://docs.dart.ucar.edu/en/latest/guide/lorenz-63-model.html　丢一个链，想要进行细致的了解，可以看看这个）

　　　图１＃
　　　对上述图片，进行一个补充说明：
　　　１．sigma, rho, beta三个参数是可以进行修改的；
　　　２．数值差分方式也是可以修改的；
　　　　　关于上述两个说法，稍后进行详细说明

　　　以下对设置的参数进行大致说明

　　　主函数：
　　　图２＃

　　　设置三个参数：
　　　图３＃

　　　设置时间段和时间间隔：
　　　　　假设以ｓ为单位
　　　图４＃

　　　设置两个不同的初始场：
　　　x1_(t1=0) = [3.0, -3.0, 12.0]　假设此为真值
　　　x2_(t1=0) = [3.2, -3.1, 11.9]　假设此为背景场
　　　图５

　　　图１，以下为20s内间隔0.01s所得到的，两个不同初值对应的x1(x),x2(y),x3(z)所对应的值的3D走线：
　　　图６＃
　　　
　　　图２，同上，但为x1,x2,x3分别的2D走线：
　　　图７＃　

　　　因为本实验的目的只是为了展示，存在误差－即背景场与真值存在差异的情况下，代入一个＂相同＂的模式，这种误差随时间的变化情况，故而
只需要保证作用在背景场与真值的模式是同一个模式，那么所得到的走线的差异，便可以仅仅看作是来自背景场与真值的初值的差异所造成的，也因此＂三个参数是可以进行修改的；数值差分方式也是可以修改的＂这两点，便可以理解了吧，或者换句话说，不同的参数化方案以及不同的数值差分方式
对实验结果结论不会有根本影响．

　　　对上述实验结果进行一个总结：

　　　１．不似线性模式，背景场与真值间的误差随时间是能够通过模式本身演化的，非线性模式情景下（此处为lorenz63模式），由图１可见，有些地方，背景场与真值的走线是重合（可以看作是误差较小）的，但是在另一些位置两者不重合（可以看作是误差较大）

　　　２．由图２可见，不同变量对应的误差，以x2,x3为例，最初都是-0.1(-3.1+3.0=-0.1;11.9-12.0=-0.1)的误差，但是误差在两个变量间的随时间的演变情况显然是不同的，而且因为lorenz63模式中的x1,x2,x3三个变量在模式积分中存在相互作用，即非线性项，某一变量相较于真值的误差也会通过模式传递给其他变量，

　　　３．由图２可见，并非是说一开始的误差大，就意味着在非线性模式的积分下，相较于真值的误差会比一开始误差小的变量所对应的误差来的小，以x1,x2为例，x1的初始误差为3.2-3.0=0.2,x2的初始误差为-3.1-(-3.0)=-0.1，但前者对应的RMSE比后者要小，也就是说，初始误差大并不一定就代表之后的误差也会大

　　　借此，便可以很好的理解，误差在非线性模式下的传递到底是在遵循着怎样的变化

　　　而答案便是

　　　根本就没有规律

　　　这便是蝴蝶效应：小误差在未来可能会产生大误差，而大误差在未来并不一定产生大误差，总而言之，非线性模式由于误差的不可传递性，根本不可能从上一时刻的误差推算出下一时刻的误差

　　　以上吧，最近做完了一些事情，倒是随即便来了新的工作，唉，长路漫漫啊～

　　　正态分布和集合预报，下次一定