大气状态空间-《气象随机场的分布函数及其转移矩阵》-（之11）

张学文

大气状态空间-《气象随机场的分布函数及其转移矩阵》-（之11）

张学文, 2014/7/14

我们已经从气象随机场的概念引申出了很多的具体的气象场内的气象变量（如压力、温度）的分布函数。也许您注意到这里谈的每个具体的分布函数的自变量都是一个变量。此后，我们会分析气象场的分布函数的自变量是两个自变量以致多个自变量的情况。而为了这种分析思路的扩展，引入状态空间概念的比较合适的。这里，使用的气象状态空间一词是统计物理学的状态空间（相空间）用到气象学中。

面对一张天气图，我们现在说它是一个气象随机场。这个“场”表达了当时的各个地理位置的大气的状态。但是我们也可以换一个角度看问题，而去分析处于这各种状态的空气各有多少（分布函数语言）。或者说问在状态空间（不是地理空间）中，大气是如何分布开的。

设想有一张天气图，图上我们把总面积划分了1万个面积相等的元面积。这些小面积是如此的小，以致我们可以认为在每个小面积元上的温度在确定时刻只有一个值。再设想天气图上的每个地方的温度仅出现于10-20度之内。现在设想有10个瓶子。每个瓶子代表一个温度区间：10-11度，11.1-12度，12.1-13度…,19.-120度，于是这10个瓶子就组成了一个温度的状态空间。而在调查了每个小面积（一万个）上的具体温度以后，可以作这样的统计整理：为每个小面积用一个小卡片代表它，在卡片上写入对应的温度值。随后依据卡片上的温度值，把卡片放入对应的标有具体温度状态的瓶子里。

这个理想的工作固然很烦人，但是它确实把大气装入了由10个代表着大气温度状态的瓶子中了。面对这10个瓶子，我们已经丢失了各个温度出现的地理位置的信息，但是却把问题简化为不同瓶子里装着对应温度所笼罩的面积值，即卡片的数量。

以上的工作使我们把大气状态（该天气图）以其温度分为10个可区分状态而组成10个代表温度的瓶子内，并且以每个瓶子里的卡片数量表示了该温度区间的空气占有的原天气图上的面积。

以上的表示天气图温度状态的瓶子，代表面积的卡片的实验似乎啰嗦，可它体现了我们扔掉了地理位置信息，突出了状态空间概念的努力。对此也可以简化手续和用于分析双自变量、多变量的的情况。

现在就来分析一个双自变量的分布函数的情况。现在考虑地球上的所有大气。它代替了前面的天气图的面积而由大气总质量代替。而自变量由温度扩展为温度与压力两个变量。即我们需要知道全球大气中具有不同温度、压力的情况空气各有多少。这是一个求二元自变量的分布函数问题。

为此，我们在一张纸上绘出垂直坐标图的横坐标和纵坐标，并且让它们分别代表温度状态空间和压力状态空间。这样就构成了2维的气象状态空间。即我们不再用10个瓶子代表状态空间了，而上用平面坐标图上的温度刻度线与压力刻度线围成的小格子代表对应的状态空间中的各个状态的“元”。

现在我们也不再用卡片代表天气图上的元面积，而是用一个小黑点代表全球大气中的元质量。注意每个大气元质量在确定时刻其温度、压力具有确定值。

当我们有了对应时间的全球大气温度压力数据以后，我们可以统计出处于不同温度区间、压力区间的大气的质量也多少。即有多少个大气小黑点应当落到大气状态空间的坐标图的对应小格子内。

根据当时大气中的每小块空气（动力气象学称为空气微团）情况的温度、压力的值，把它们一一点入对应的状态空间的小格子内。当我们把每个空气微团的对应点子都点到状态空间的坐标架子中以后，我们就知道全球的大气情况是如何在这个温度-压力组成的状态空间中是如何分布（存在）的了。

下面的图就是在《熵气象学》研究中根据大气平均状态而获得的大气在状态空间（由温度、压力联合构成）中的分布情况。

                               
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这张图由不同温度状态的分割线与不同压力状态的分割线垂直交叉出来的一块面积组成。而每块空气（微团）用一个点子来代表，它被装入与自己的温度、压力对应的小面积内。图中没有点子的空白区域表示没有大气处于该状态空间。而点子密集的格子表示处于该状态格子内的空气比较多。

在图中我们看到在压力是1000百帕附近的空气，其温度主要集中在负10度到30度之间，而处于压力比较低的空气其温度都比较低。

我们可以准确地说在状态空间的元体积（现在是小方格的面积）内的点子的数量就表示了空气处于该状态的概率密度。这种状态空间中的点子的密度对应着一个气象场的分布函数。

在这种分析下，我们把二元（温度、压力）的气象场的分布函数用点子密度表示了出来。它与先前我们把空气根据其温度而装入10个代表不同“温度状态”瓶子所体现的一维变量的气象场分布函数是一个思路。

由此可见，我们过去分析的种种的气象场分布函数都可以用不同的状态空间中的空气点子的数量来表示，或者说状态空间的空气点子的密度是体现气象场的分布函数的一个角度、方法、技术、思路。在这种思路下一个显然的启发是：

统计物理学关于大量粒子在状态空间中的存在、运动、变化的规律性是否也可以移植到大量的空气块（大量的空气微团）上来？

确实，在气象学中引入分布函数概念不是自找麻烦，不是数学游戏，而是希望在新的视角下引入新的知识、规律。

在有了分布函数概念，在引入了它在状态空间中的体现问题，就方便了此后的分析与规律的引入。

好了，本段已经不短。其他的问题以后再讨论。

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