不同历时的雨区面积的一个公式

张学文

不同历时的雨区面积的一个公式

张学文，2014/9/29-10.2

注：有的符号如n应当是在指数的位置上的。这里没有体现出来。dn是d的n 次方!

我们每天看CCTV上的天气预报的24小时、48小时的雨量分布图。它给人的一般印象是我国每天都有很大的面积上未来24、48小时在下雨！

这是真的吗？（参考本人的博客：极易被误解的CCTV气象预报图，http://blog.sciencenet.cn/blog-2024-213465.html）

应当说，气象人员对此的一般不再进一步多少什么。

但是现在我们说明对这种气象图的理解存在很多的系统性偏差。实际情况是给出的降水量分布图是指24小时内出现过降水的地区。而它不表示这些地区在未来24小时一直处于下雨状态（下雨可能仅是24小时当中的一小部分）。

为了定量分析这个问题，我们分两步走：

（1）T时段内无雨概率与nT时段内无雨的关系公式

任意一个地点（气象站），如果在连续的T 这么长的时间段内无雨的概率=d 而且这个T 足够长，以致下一个时间段的降水有无与此无关，那么连续2T 这么长的时间段内无雨的概率是多少？

它显然是这两个独立事件的出现概率的乘积，即d的平方.

于是该气象站连续nT 这么长的时间内无雨的概率p就是dn，即p(nT)=d的n次方

由于d 小于1，所以无雨区的长度nT 是一个负指数型的函数。（注意T 是个有特定含义的常数）

以上的认识基本属于概率的乘法定律在单站降水问题上的应用。

（2）现在我们把以上思路进而折射到一个区域（气象随机场）的面积上，以便与不同时间长度的天气预报的雨区面积大小联系起来。

现在让我们这样考虑：

在一个充分大的区域，它包括很多个独立（不是相同！）的天气区域但是又有气候的一致性。即各地在T这么长的时间内无雨的概率都=d，但是每个区域是否出现降水却是独立事件(面积很大，以致天气现象的发生彼此独立)。

由于这样的区域充分大（有很多独立降水区域，如我国的面积）,我们自然可以认为一个T时间段内，无雨区的相对面积=d，而两个T这么长的时间内都无雨的概率=d的平方，（依然是概率乘法）

于是nT 这么长的时间内无雨的相对面积f 是dn，即f(nT)= d的n次方  。它也是概率乘法的多次运用。

由于d小于1，它也是一个负指数型的函数。即随着时间的拉长，无雨区的相对面积按负指数函数而缩小。显然该区域内的“曾经下过了雨”的雨区相对面积A 却在扩大，其关系显然是 A=1-d的n次方。

这就是我们获得的雨区面积随着论及的时间的拉长而扩大的公式了。它表示随着n的增加（降水时间段的拉长）雨区占有的相对面积在扩大，最后达到100%的相对面积。

取d=0.9,而获得的雨区占有的相对面积随着时间的拉长而增加的图如下。

                               
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